13365. На биссектрисе угла ABC
отмечена точка D
, а на отрезке BD
выбрана точка E
, причём \angle CED=90^{\circ}
. Известно, что DE=1
, AB=2
, BE=3
и BC=4
. Докажите, что треугольник ACD
равнобедренный.
Решение. Отметим на отрезке BE
точку F
так, что FE=1
. Тогда BF=2
. Треугольники ABD
и FBC
равны по двум сторонам и углу между ними:
AB=BF=2,~BD=BC=4,~\angle ABD=\angle FBC.
Значит, AD=FC
.
Отрезок CE
— высота и медиана треугольника CDF
, поэтому DC=FC=AD
. Следовательно, треугольник ACD
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2020, первый тур, задача 3, 7 класс