13368. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. Известно, что AO\cdot BO\lt CO\cdot DO
. Докажите, что \angle BCD+\angle CDA\lt180^{\circ}
.
Решение. На продолжении отрезка OA
за точку A
отметим точку A'
, для которой
A'O\cdot BO=CO\cdot DO.
(Это возможно, так как A'O=\frac{CO\cdot DO}{BO}\gt AO
.) Тогда \frac{A'O}{CO}=\frac{DO}{BO}
, поэтому A'D\parallel BC
. Значит, сумма углов BCD
и CDA'
равна 180^{\circ}
. Поскольку луч DA
проходит между сторонами угла BDA'
, то \angle BDA\lt\angle BDA'
, поэтому \angle CDA\lt\angle CDA'
. Следовательно,
\angle BCD+\angle CDA\lt\angle BCD+\angle CDA'=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2020, первый тур, задача 2, 10 класс