1337. Пусть Q
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, прямая AQ
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Выразите отрезки AQ
и QD
через R
, r
и \alpha
, где R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, а \alpha=\angle BAC
.
Ответ. \frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}
, 2R\sin\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Докажите, что QD=BD
.
Решение. Докажем сначала, что QD=BD
. Действительно, угол BQD
— внешний угол треугольника AQB
, поэтому
\angle BQD=\angle BAQ+ABQ=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=\angle CBD+\angle QBC=\angle QBD.
Значит, треугольник BDQ
— равнобедренный и BD=QD
. Следовательно,
QD=BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Пусть теперь M
— проекция точки Q
на AB
. Тогда QM=r
. Из прямоугольного треугольника AMQ
находим, что
AQ=\frac{QM}{\sin\angle MAQ}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.