13372. В треугольнике ABC
провели биссектрису BE
и серединный перпендикуляр m
к стороне AB
. Оказалось, что BE=EC
, а прямая m
пересекает сторону BC
. Докажите, что угол C
меньше 36^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle ABC=2\beta
, а прямая m
пересекает сторону BC
в точке D
. По свойству серединного перпендикуляра DA=DB
, поэтому
\angle DAB=\angle ABD=2\beta.
Значит, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\angle DAB+\angle ABD=4\beta.
Кроме того, поскольку BE=EC
, то
\angle C=\angle DBE=\beta.
Из треугольника ADC
получаем
180^{\circ}=\angle DAC+\angle ADC+\angle C=\angle DAC+4\beta+\beta,
откуда
\angle C=\beta=\frac{180^{\circ}-\angle DAC}{5}\lt36^{\circ}.
Что и требовалось доказать.