13373. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BK
и CL
. На отрезке BK
отмечена точка N
так, что LN\parallel AC
. Оказалось, что NK=LN
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Треугольник LNK
равнобедренный, поэтому \angle KLN=\angle LKN
. Кроме того, равны углы KLN
и LKA
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых LN
и AC
. Таким образом, \angle KLN=\angle LKA
, т. е. луч KL
— биссектриса угла AKB
. Следовательно, лежащая на нём точка L
равноудалена от прямых KA
и KB
. Кроме того, она равноудалена от прямых CA
(т. е. KA
) и CB
, так как лежит на биссектрисе угла ACB
. Значит, точка L
равноудалена от прямых CB
и KB
, и потому должна лежать на биссектрисе того из углов, образованных этими прямыми, в котором она содержится. Это угол KBC_{1}
, где C_{1}
— точка на продолжении отрезка CB
за точку B
, а его биссектрисой должен быть луч BL
(т. е. BA
). Отсюда получаем, что
\angle ABC_{1}=\angle ABK=\angle CBK.
Поскольку эти три угла вместе составляют развёрнутый угол, то каждый из них равен 60^{\circ}
, откуда
\angle ABC=\angle ABK+\angle CBK=120^{\circ}.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022, XIV, региональный этап, первый день, задача 3, 8 класс