13374. Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведённых из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?
Ответ. Существует.
Решение. Возьмём треугольник ABC
, в котором AB=BC
и высота BH
, проведённая из вершины B
, равна 2AC
(очевидно, такой существует). На продолжении стороны AC
за точку C
отложим отрезок CD=AC
. В треугольнике ABD
высота BH
равна стороне AD=2AC
, а медиана BC
равна стороне AB
.
Другим примером служит прямоугольный треугольник, у которого медиана, проведённая из вершины острого угла, образует с катетом, выходящим из той же вершины, угол 30^{\circ}
.