13378. AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
). HK
— высота треугольника AHB
. Оказалось, что 4HK=AB
. Чему могла быть равна градусная мера угла ABC
? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.
Ответ. 15^{\circ}
, 75^{\circ}
, 105^{\circ}
, 165^{\circ}
.
Решение. Пусть точка M
— середина стороны AB
. Тогда
HM=\frac{1}{2}AB=AM=2HK,
поэтому \angle HMK=30^{\circ}
. Разберём возможные случаи.
Пусть угол B
острый. Если точка M
лежит на отрезке KA
, то в равнобедренном треугольнике HMB
угол при вершине M
равен 30^{\circ}
, значит, при основании \angle B=75^{\circ}
. Если же точка M
лежит на отрезке KB
, то в равнобедренном треугольнике HMB
угол при вершине M
равен 150^{\circ}
. Значит, \angle B=15^{\circ}
.
Пусть угол B
тупой. Если точка M
лежит на отрезке KA
, то в равнобедренном треугольнике HMB
угол при вершине M
равен 30^{\circ}
. Значит, угол при основании равен 75^{\circ}
, а смежный с ним угол B
равен 105^{\circ}
. Если же точка M
лежит на отрезке KB
, то в равнобедренном треугольнике HMB
угол при вершине M
равен 150^{\circ}
. Значит, угол при основании равен 15^{\circ}
, а тогда смежный с ним угол B
равен 165^{\circ}
.