13379. В трапеции ABCD
биссектриса угла B
пересекает основание AD
в точке L
. Точка M
— середина стороны CD
. Прямая, параллельная BM
и проходящая через точку L
, пересекает сторону AB
в точке K
. Оказалось, что угол BLM
прямой. Найдите отношение \frac{BK}{KA}
.
Ответ. 2.
Решение. Продолжим отрезок BM
до пересечения с прямой AD
в точке N
, а отрезок LK
— до пересечения с прямой BC
в точке P
. Положим LD=x
, BC=y
. Треугольники BCM
и NDM
по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому DN=BC=y
. Противоположные стороны BP
и LN
четырёхугольника PLNB
параллельны, значит, это параллелограмм, поэтому
PB=LN=LD+DN=x+y.
Поскольку
\angle ALB=\angle LBC=\angle ABL,
треугольник ABL
равнобедренный, AL=AB
. Значит, его высота AE
является медианой. Следовательно, EM
— средняя линия трапеции BLDC
, поэтому
EM=\frac{1}{2}(BC+LD)=\frac{1}{2}.
Прямые AE
и LM
параллельны, так как обе они перпендикулярны BL
. Значит, четырёхугольник AEML
— тоже параллелограмм. Тогда
AL=EM=\frac{1}{2}(x+y)=\frac{1}{2}PB.
Треугольники PKB
и LKA
подобны, следовательно,
\frac{BK}{KA}=\frac{PB}{LA}=2.
Примечание. Чтобы обойтись без подобия, рассмотрим середины U
и V
отрезков PK
и BK
соответственно. Поскольку UV=\frac{1}{2}PB=AL
, треугольники UVK
и LAK
равны, откуда KB=2KV=2KA
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2021, XIII, третий тур дистанционного этапа, задача 4, 8 класс