13381. Точка M
— середина стороны AC
равностороннего треугольника ABC
. Точки P
и R
на отрезках AM
и BC
соответственно выбраны так, что AP=BR
. Найдите сумму углов ARM
, PBM
и BMR
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Пусть отрезки AR
и BM
пересекаются в точке Q
. Треугольники ABP
и BAR
равны двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle BAR=\angle ABP=\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ARM+\angle BMR=\angle AQM=\angle ABQ+\angle BAQ=
=(\alpha+\angle PBM)+\alpha=2\alpha+\angle PBM.
Следовательно,
\angle ARM+\angle BMR+\angle PBM=(2\alpha+\angle PBM)+\angle PBM=
=2(\alpha+\angle PBM)=2\angle ABM=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.