13382. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
соответственно. Отрезки CP
и AQ
пересекаются в точке R
. Оказалось, что AR=CR=PR+QR
. Докажите, что из отрезков AP
, CQ
и PQ
можно составить треугольник, один из углов которого равен углу B
.
Решение. Отметим точки K
и L
на отрезках CP
и AQ
соответственно таким образом, чтобы CK=RP
, а AL=RQ
. Пусть M
— точка, симметричная точке R
относительно середины отрезка AC
. Тогда APKM
— параллелограмм, так как PK\parallel AM
и
PK=RP+RK=CK+RK=CR=AM.
Значит, MK=AP
. Аналогично, CQLM
— тоже параллелограмм, и ML=CQ
.
Докажем, что треугольник LKM
— искомый, т. е. \angle LMK=\angle ABC
. В самом деле,
RL=AR-AL=AR-QR=PR,
RK=CR-CK=CR-PR=QR,
поэтому треугольники PRQ
и LRK
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, LK=PQ
, а так как стороны MK
и ML
треугольника LKM
соответственно параллельны сторонам BC
и BA
треугольника ABC
, то \angle KML=\angle ABC
. Что и требовалось доказать.