13385. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы при вершинах A
, B
и C
равны. На стороне AB
отмечена точка E
. Известно, что AD=CD=BE
. Докажите, что CE
— биссектриса угла BCD
.
Решение. Поскольку AD=CD
, то \angle DAC=\angle DCA
. Вместе с условием \angle A=\angle C
это означает, что \angle BAC=\angle BCA
, поэтому AB=BC
. Тогда треугольники BDA
и BDC
равны по трём сторонам. Из этого следует, что BD
— биссектриса угла ABC
, а кроме того, треугольники BCD
и CBE
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle BCE=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle BCD.
Следовательно, CE
— биссектриса угла BCD
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, второй тур, задача 2, 7 класс