13387. Точки M
и N
— середины сторон BC
и AD
соответственно четырёхугольника ABCD
. Отрезки AM
, DM
, BN
и CN
разбивают четырёхугольник ABCD
на семь частей (шесть из которых треугольники, а седьмая — четырёхугольник). Докажите, что если площади шести из этих частей — нечётные натуральные числа, то все эти шесть частей — треугольники
Решение. Пусть прямые AM
и BN
пересекаются в точке X
, а прямые DM
и CN
— в точке Y
. Предположим, что площадь S_{MXNY}
четырёхугольника MXNY
нечётна. Поскольку треугольники бывают двух типов — прилегающие ко всей стороне четырёхугольника либо прилегающие к половине стороны, не умаляя общности, можно считать, что о площади одной из частей ABX
, ANX
нам ничего не известно, а площади всех остальных частей нечётны. Докажем, что S_{\triangle NYM}
— полуцелое число, т. е. имеет вид \frac{n}{2}
, где n
— нечётно.
Действительно, числа S_{\triangle NYM}
и S_{\triangle NXM}
в сумме дают нечётное число, а так как
S_{\triangle NXM}+S_{\triangle BMX}=S_{\triangle BMN}=S_{\triangle CMN}=S_{\triangle NYM}+S_{\triangle CMY},
то величина
S_{\triangle NYM}-S_{\triangle NXM}=S_{\triangle BMX}-S_{\triangle CMY}
чётна как разность двух нечётных чисел. Итак, сумма чисел S_{\triangle NYM}
и S_{\triangle NXM}
нечётна, а разность чётна, значит, эти числа полуцелые. Осталось заметить, что равны произведения площадей
S_{\triangle CYM}\cdot S_{\triangle DYN}=S_{\triangle CYD}\cdot S_{\triangle NYM}
(см. задачу 4191), а это приводит к противоречию, поскольку левая часть — натуральное число, а правая — нет, так как она является произведением нечётного числа на полуцелое.
Автор: Кузнецов А. С.
Автор: Ширяев Д.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, второй тур, задача 5, 8 класс