13388. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка K
. Оказалось, что \angle ABK=7^{\circ}
и \angle ABC=77^{\circ}
. Докажите, что 2AK+AC\gt BC
.
Решение. Пусть точка K'
симметрична точке K
относительно прямой AB
, а точка A'
симметрична точке A
относительно прямой BK'
. Тогда AK=AK'=A'K'
и
\angle A'BC=7^{\circ}+7^{\circ}+77^{\circ}=91^{\circ}\gt90^{\circ}.
Значит, A'C
— наибольшая сторона треугольника BCA'
. Следовательно,
BC\lt A'C\leqslant A'K'+AK'+AC=2AK+AC.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, второй тур, задача 7, 8 класс