13390. Внутри равностороннего треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
таким образом, что P
находится внутри треугольника AQB
, PQ=QC
и \angle PAQ=\angle PBQ=30^{\circ}
. Найдите \angle AQB
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Построим на сторонах AP
и PB
треугольника APB
правильные треугольники APX
и BPY
. Треугольник AXC
получается из треугольника APB
поворотом на 60^{\circ}
вокруг точки A
, значит, эти треугольники равны. Тогда XC=PB=PY
. Аналогично CY=AP=XP
. Противоположные стороны четырёхугольника PXCY
попарно равны, следовательно, PXCY
— параллелограмм.
Поскольку \angle PBQ=30^{\circ}
, отрезок BQ
— биссектриса правильного треугольника BPY
. Следовательно, прямая BQ
— серединный перпендикуляр к отрезку PY
, и тогда QP=QY
. Аналогично QP=QX
, а так как по условию QP=QC
, то получаем, что точка Q
равноудалена от всех вершин параллелограмма PXCY
. Это означает, что около этого параллелограмма можно описать окружность. Тогда PXCY
— прямоугольник.
Выше мы уже доказали, что отрезки BQ
и AQ
перпендикулярны сторонам этого прямоугольника. Следовательно, \angle AQB=90^{\circ}
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2020, второй тур, задача 6, 8 класс