13391. На стороне AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
с острым углом B
отмечена точка E
. Известно, что
\angle CAD=\angle ADC=\angle ABE=\angle DBE.
Докажите, что BE+CE\lt AD
.
Решение. Обозначим через \alpha
угол CAD
и равные ему углы. Пусть C'
— точка, симметричная точке C
относительно прямой AD
. Тогда ACDC'
— ромб. Напишем сумму углов треугольника ADC'
:
180^{\circ}=\angle AC'D+2\alpha=\angle AC'D+\angle ABD.
Отсюда заключаем, что четырёхугольник ABDC'
вписанный. Тогда
\angle ADC'=\angle ABC'=\alpha=\angle ABE.
Значит, прямая BC'
проходит через точку E
. В силу симметрии EC=EC'
, и тогда
BE+CE=BC'.
На хорду AD
опирается острый вписанный угол ABD
, равный 2\alpha
, а на хорду BC'
— угол C'DB
, меньший угла C'DC
, равного 2\alpha
. Из теоремы синусов следует, что BC'\lt AD
. Значит,
BE+CE=BC'\lt AD.
Что и требовалось доказать.