13392. Точка I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
в точке X
, а точка A'
диаметрально противоположна точке A
на описанной окружности этого треугольника. На отрезках I_{a}X
, BA'
, CA'
выбраны точки Y
, Z
, T
соответственно таким образом, что I_{a}Y=BZ=CT=r
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что точки X
, Y
, Z
, T
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а точки A_{1}
и B_{1}
— соответственно точки её касания со сторонами BC
и CA
. Тогда
IA_{1}=IB_{1}=r
и точки A_{1}
и B_{1}
симметричны относительно прямой CI
.
Достроим треугольник A_{1}IB_{1}
до ромба IA_{1}KB_{1}
(точка K
лежит на отрезке CI
). Тогда
A_{1}K=r=CT,~IB_{1}\parallel A_{1}K.
Поскольку A
и A'
— диаметрально противоположные точки описанной окружности треугольника ABC
, угол ACA'
прямой. Значит, CT\parallel IB_{1}\parallel A_{1}K
. Таким образом, отрезки CT
и A_{1}K
равны и параллельны, и поэтому четырёхугольник A_{1}KCT
— параллелограмм. Следовательно, A_{1}T\parallel CI
.
Прямые IA_{1}
и XI_{a}
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой BC
. Биссектрисы CI
и CI_{a}
смежных углов перпендикулярны, а так как A_{1}B_{1}\perp CI
, то CI_{a}\parallel A_{1}B_{1}
. Значит, \angle IA_{1}B_{1}=\angle XI_{a}C
.
Отметим на луче I_{a}C
такую точку L
, для которой I_{a}L=A_{1}B_{1}
. Тогда треугольники IA_{1}B_{1}
и YI_{a}L
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, YL=IB_{1}=r
, и прямые YL
и IB_{1}
параллельны. Тогда отрезки YL
и TC
равны и параллельны. Таким образом, четырёхугольник YLCT
— параллелограмм. Следовательно, TY\parallel CI_{a}
.
Поскольку \angle ICI_{a}=90^{\circ}
, из параллельностей A_{1}T\parallel CI
и TY\parallel CI_{a}
получаем, что \angle A_{1}TY=90^{\circ}
. Следовательно, точка T
лежит на окружности, построенной на отрезке A_{1}Y
как на диаметре. Аналогично проверяется, что точка Z
лежит на той же окружности.
Кроме того, \angle A_{1}XI_{a}=90^{\circ}
, и значит, точка X
также лежит на окружности, построенной на отрезке A_{1}Y
как на диаметре. Следовательно, точки X
, Y
, Z
, T
лежат на одной окружности.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2020, второй тур, задача 5, 9 класс