13396. Высоты BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Окружность с центром в точке O_{b}
проходит через точки A
, C_{1}
и середину отрезка BH
. Окружность с центром в точке O_{c}
проходит через точки A
, B_{1}
и середину отрезка CH
. Докажите, что B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\gt\frac{1}{4}BC
.
Решение. Обозначим середину отрезка BH
через M
, а окружность, проходящую через точки A
, C_{1}
и M
, — через \omega
. Поскольку
\frac{1}{4}BC\lt\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH,
для решения задачи достаточно доказать неравенство B_{1}O_{b}\geqslant\frac{1}{4}BH
(и C_{1}O_{c}\geqslant\frac{1}{4}CH
). Докажем, что расстояние от точки O_{b}
до прямой AC
равно \frac{1}{4}BH
(отсюда будет следовать утверждение задачи).
В самом деле, пусть точка B'
симметрична вершине B
относительно прямой AC
. Поскольку
BM\cdot BB'=BM\cdot2BB_{1}=2BM\cdot BB_{1}=BH\cdot BB_{1}=BC_{1}\cdot BA
(последнее равенство следует из вписанности четырёхугольника AB_{1}HC_{1}
). Следовательно, точка B'
лежит на окружности \omega
(см. задачу 114).
Таким образом, центр O_{b}
окружности \omega
должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде MB'
. Значит, расстояние от точки O_{b}
до прямой AC
равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой AC
, т. е. между серединами отрезков B'M
и BB'
. Оно в два раза меньше, чем расстояние между точками M
и B
, т. е. равно \frac{1}{4}BH
. Аналогично, расстояние от точки O_{c}
до прямой AB
равно \frac{1}{4}CH
. Значит,
B_{1}O_{b}\geqslant\frac{1}{4}BH,~C_{1}O_{c}\geqslant\frac{1}{4}CH
Следовательно,
B_{1}O_{b}+C_{1}O_{c}\geqslant\frac{1}{4}BH+\frac{1}{4}CH=\frac{1}{4}(BH+CH)\gt BC.
Что и требовалось доказать.