13397. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена точка D
, на отрезке AD
выбрана точка E
, а на отрезке BD
— точка F
, причём AE=1
, BF=DE=2
и CD=3
. Оказалось, что AB=CE
. Найдите длину отрезка AF
.
Ответ. 3.
Решение. Треугольник ADC
равнобедренный, так как
DC=3=AE+ED=AD.
На его боковой стороне AD
отмечена точка E
, для которой AE=1
, DE=2
. Отметим на другой боковой стороне CD
точку E'
, для которой CE'=1
, DE'=2
. Из соображений симметрии AE'=CE
. Поэтому AE'=AB
.
Таким образом, на основании равнобедренного треугольника ABE'
появились точки F
и D
, симметричные относительно его середины (BF=DE'=2
). Из этого следует, что AF=AD=3
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2021, первый тур, задача 4, 7 класс