13399. На стороне BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
отмечена точка P
. Оказалось, что описанные окружности треугольников PAB
и PCD
касаются прямой AD
. При этом \angle BAP=\angle PDC=30^{\circ}
. Найдите угол APD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. По теореме об угле между секущей и касательной
\angle DAP=\angle ABP,~\angle ADP=\angle DCP.
Обозначим эти углы через \alpha
и \beta
. Сумма углов четырёхугольника ABCD
равна
60^{\circ}+2\alpha+2\beta=360^{\circ},
откуда \alpha+\beta=150^{\circ}
. Следовательно,
\angle APD=180^{\circ}-\alpha-\beta=30^{\circ}.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2021, первый тур, задача 3, 10 класс