13400. В треугольнике ABC
проведена медиана AK
. На стороне AC
отмечена точка N
так, что \angle AKN=90^{\circ}
. Докажите, что на плоскости найдётся такая точка L
, что AB=AL
, BK=KL
, NL=NC
Решение. Заметим, что
\angle AKB+\angle CKN=180^{\circ}-\angle AKN=90^{\circ}.
Поэтому можно разделить лучом угол AKN
на углы, равные AKB
и CKN
.
Отметим на таком луче точку L
, для которой KL=KB=KC
. Тогда
\angle LKA=\angle AKB,~\angle LKN=\angle CKN.
Треугольники ABK
и ALK
равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично, равны треугольники CKN
и LKN
. Следовательно, AB=AL
и NL=NC
. Что и требовалось.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2021, второй тур, задача 2, 7 класс