13401. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
нашлись такие точки E
и F
, что треугольники ABE
и CDF
равносторонние. Докажите, что сумма периметров треугольников ABF
и CDE
не меньше, чем периметр четырёхугольника ABCD
.
Решение. Построим правильный треугольник BCX
с той же стороны от прямой BC
, что и сторона AD
. Поскольку \angle ABE=60^{\circ}=\angle CBX
, то \angle ABX=\angle CBE
. Значит, треугольники ABX
и BCE
равны по двум сторонам и углу между ними, а потому AX=CE
. Аналогично, DX=BF
, и потому
BF+CE=AX+DX\geqslant AD.
Рассуждая аналогично, получим, что
AF+DE\geqslant BC.
Сложив два этих неравенства и добавив к обеим частям AB+CD
, получим требуемое.