13403. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Точка A'
такова, что \angle ABA'=\angle ADA'=90^{\circ}
. Аналогично определяются точки B'
, C'
и D'
При этом A'
и C'
лежат внутри четырёхугольника ABCD
, а B
и D
— внутри выпуклого четырёхугольника A'B'C'D'
. Докажите, что площади четырёхугольников ABCD
и A'B'C'D'
равны.
Решение. Пусть S_{A'BC'D}=x
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle CBC'}+S_{\triangle CDC'}+S_{\triangle ABA'}+S_{\triangle ADA'}-x.
Заменив каждую из площадей треугольников в последнем выражении заменим с помощью равенства S_{\triangle ABA'}=S_{\triangle BB'A'}
и аналогичных ему, получим
S_{\triangle BB'C'}+S_{\triangle C'DD'}+S_{\triangle BB'A'}+S_{\triangle D'A'D}-x=S_{A'B'C'D'}.
Следовательно, S_{ABCD}=S_{A'B'C'D'}
. Что и требовалось доказать.