13404. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle A=3\angle B
. На стороне AB
отмечена точка C_{1}
, а на стороне BC
— точка A_{1}
так, что AA_{1}=AC=CC_{1}
. Докажите, что 3A_{1}C_{1}\gt BD
.
Решение. Пусть A_{1}'
— точка, симметричная точке A_{1}
относительно прямой AB
. Тогда A_{1}C_{1}=A_{1}'C_{1}
и \angle A_{1}'BA=\angle ABC
. Кроме того,
\angle AA_{1}'B=\angle AA_{1}B=180^{\circ}-\angle AA_{1}C=180^{\circ}-\angle ACA_{1}
(последнее равенство верно в силу равнобедренности треугольника CAA_{1}
). Следовательно, точка A_{1}'
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Аналогичные рассуждения повторим и для точки C_{1}'
, симметричной C_{1}
относительно прямой BC
. Таким образом, точки A_{1}'
и C_{1}'
лежат на этой окружности и
\angle A_{1}'BC_{1}'=3\angle ABC=\angle DAB,
откуда следует, что BD=A_{1}'C_{1}'
как хорды, на которые опираются равные вписанные углы.
По неравенству ломаной (обобщённое неравенство треугольника) получаем
3A_{1}C_{1}=A_{1}'C_{1}+C_{1}A_{1}+A_{1}C_{1}'\geqslant A_{1}'C_{1}'=BD.
Осталось объяснить, почему знак неравенства строгий.
Равенство возможно только в том случае, когда точки A_{1}'
, C_{1}
, A_{1}
и C_{1}'
лежат на одной прямой, но, в силу определения точек A_{1}'
и C_{1}'
, это бы означало, что A_{1}C_{1}\perp AB
и A_{1}C_{1}\perp BC
, что, очевидно, невозможно.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2021, второй тур, задача 3, 9 класс