13409. Точки X
и Y
— середины дуг AB
и BC
описанной окружности треугольника ABC
. Точка T
лежит на стороне AC
. Оказалось, что биссектрисы углов ATB
и BTC
проходят через точки X
и Y
соответственно. Чему может быть равен угол B
треугольника ABX
?
Ответ. 9^{\circ}
.
Решение. Поскольку CX
— биссектриса угла TCB
треугольника BTC
, а TX
— биссектриса внешнего угла этого треугольника, то X
— центр вневписанной окружности треугольника BTC
. Аналогично, Y
— центр вневписанной окружности треугольника ATB
. Тогда BX
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника BTC
, поэтому
\angle XBT=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBT)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBT,
а так как
\angle XBA=\angle XCA=\frac{1}{2}\angle BCA=\frac{1}{2}\angle BCT,
то
\angle ABT=\angle XBT-\angle XBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBT-\frac{1}{2}\angle BCT=\frac{1}{2}\angle BTC.
Аналогично, \angle CBT=\frac{1}{2}\angle BTA
. Следовательно,
\angle ABC=\angle ABT+\angle CBT=\frac{1}{2}(\angle BTC+\angle BTA)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.