13411. Треугольник ABC
с тупым углом при вершине C
вписан в окружность с центром в точке O
. Окружность с центром в точке P
, описанная около треугольника AOB
, пересекает прямую AC
в точках A
и A_{1}
, прямую BC
— в точках B
и B_{1}
, а также серединный перпендикуляр к отрезку PC
— в точках D
и E
. Докажите, что точки D
и E
вместе с центрами описанных окружностей треугольников A_{1}OC
и B_{1}OC
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть r
, R
, R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей \omega
, \Omega
, \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами соответственно O
, P
, O_{1}
и O_{2}
, описанных около треугольников ABC
, AOC
, A_{1}OC
и B_{1}OC
.
Поскольку OB=OA=r
, точка O
— середина дуги AOB
окружности \Omega
, значит,
\angle CA_{1}O=\angle AA_{1}O=\angle BA_{1}O=\angle BAO=\angle ABO.
Обозначим эти углы через \alpha
. Тогда по теореме синусов
R_{1}=\frac{OC}{2\sin\angle CA_{1}O}=\frac{r}{2\sin\alpha},~R=\frac{OB}{2\sin\angle BAO}=\frac{r}{\sin\alpha}.
Следовательно, R_{1}=R
. Аналогично, R_{2}=R
.
Кроме того, поскольку точки P
и C
симметричны относительно прямой DE
, то
CD=PD=PE=CE=R.
Таким образом,
CD=CE=R=CO_{1}=CO_{2}.
Следовательно, точки D
, E
, O_{1}
и O_{2}
лежат на окружности с центром в точке C
. Что и требовалось.