13412. На стороне AB
треугольника ABC
выбрана точка D
, а на стороне BC
— точка E
. Точка F
отмечена так, что отрезки EF
и BD
пересекаются. Оказалось, что
AB=BC,~BD=CD=CE=EF,~AC=BF.
Докажите, что точки C
, D
, F
лежат на одной прямой.
Решение. Из равенств AB=BC
и BD=CE
получаем AD=BE
. Значит, треугольники BFE
и ACD
равны по трём сторонам, поэтому
\angle EBF=\angle DAC=\angle BCA.
При этом \angle CBD=\angle BCD
как углы при основании равнобедренного треугольника BCD
. Значит, \angle FBD=\angle ACD
. Таким образом, треугольники FBD
и ACD
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \angle FDB=\angle ADC
, а так как ADB
— одна прямая, то эти углы вертикальные. Следовательно, CDF
— одна прямая. Что и требовалось доказать.
Автор: Солынин А. А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, первый тур, задача 3, 7 класс