13413. На стороне BC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
так, что BD=DE
и AD=AC
. На отрезке AD
отмечена точка X
, а на отрезке AC
— точка Y
так, что DX=AY
. Докажите, что EX+DY\geqslant AB
.
Решение. Первый способ. Треугольник ACD
равнобедренный, поэтому \angle EDX=\angle ACD
. Отразим треугольник EDX
относительно прямой BC
и приложим к отрезку DB=ED
, т. е. сдвинем его так, чтобы точка D
перешла в D
. Полученный треугольник DBZ
равен треугольнику EDX
. Тогда
\angle DBZ=\angle EDX=\angle ACD,~BZ=DX=AY,~DZ=EX.
Из равенства углов следует, что BZ\parallel AC
, поэтому отрезки BZ
и AY
равны и параллельны. Значит, четырёхугольник ABZY
— параллелограмм, AB=YZ
. Следовательно,
YZ\leqslant DZ+DY=EX+DY.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Перевернём треугольник EDX
и приложим сторону DX
к отрезку AY
; получится треугольник WAY
, равный треугольнику EDX
(т. е. от луча AY
в полуплоскость, не содержащую точку B
, отложим угол, равный углу ADC
, а на полученном луче отложим отрезок AW=DE
). Тогда
\angle WAY=\angle EDX=\angle ACD,
поэтому отрезки AW
и BD
равны и параллельны. Значит, четырёхугольник ABDW
— параллелограмм. Следовательно,
AB=DW\leqslant DY+YW=DY+EX.
Что и требовалось доказать.