13414. В правильном 20-угольнике отмечены четыре последовательные вершины A
, B
, C
и D
. Внутри него выбрана точка E
так, что AE=DE
и \angle BEC=2\angle CED
. Найдите угол AEB
.
Ответ. 39^{\circ}
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
— равнобедренная трапеция с углами
\angle ABC=\angle BCD=\frac{180^{\circ}(20-2)}{20}=162^{\circ}.
Точка E
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
, а значит, — и к отрезку BC
. Тогда треугольник BEC
равнобедренный. Его высота EH
является биссектрисой, поэтому
\angle HEC=\frac{1}{2}\angle BEC=\angle CED.
Обозначим эти углы через \alpha
. Сумма углов четырёхугольника CDEH
равна 360^{\circ}
, т. е.
\angle CDE+2\alpha+90^{\circ}+162^{\circ}=360^{\circ},
откуда \angle CDE=108^{\circ}-2\alpha
.
Первый способ. По теореме синусов из треугольника CED
получаем \frac{CD}{\sin\alpha}=\frac{CE}{\sin(108^{\circ}-2\alpha)}
, откуда
CE\sin\alpha=CD\sin(108^{\circ}-2\alpha).
Из прямоугольного треугольника CEH
получаем
CE\sin\alpha=CH=\frac{1}{2}CD.
Из равенства \frac{1}{2}CD=CD\sin(108^{\circ}-2\alpha)
находим, что \sin(108^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}
, а так как 108^{\circ}-2\alpha\lt150^{\circ}
, то 108^{\circ}-2\alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle AEB=\angle DEC=\alpha=39^{\circ}.
Второй способ. Опустим перпендикуляр CK
на прямую ED
. Луч EC
— биссектриса угла DEH
, поэтому
CK=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD.
Значит, \angle CDK=30^{\circ}
, причём точка K
лежит на отрезке DE
, так как если это не так, то \angle CDE=150^{\circ}
, что невозможно, так как
\angle CDE=108^{\circ}-2\alpha\lt150^{\circ}.
Таким образом,
108^{\circ}-2\alpha=\angle CDE=\angle CDK=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle AEB=\angle DEC=\alpha=\frac{1}{2}(108^{\circ}-30^{\circ})=39^{\circ}.
Автор: Кноп К. А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, первый тур, задача 4, 9 класс; задача 3, 11 класс