13415. На полуокружности с диаметром AB
выбраны точки C
и D
так, что хорды AD
и BC
пересекаются. Известно, что BC=1
, AD=2
. Докажите, что \angle ABC\gt2\angle BAD
.
Решение. Поскольку в окружности есть хорда, равная 2, то диаметр окружности больше 2, т. е. AB\gt2
. В прямоугольном треугольнике ACD
известно, что
\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}\lt\frac{BC}{2}=\frac{1}{2},
поэтому
\angle ABC\gt60^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAC\lt30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAD\lt\angle BAC\lt30^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABC\gt60^{\circ}=2\cdot30^{\circ}\gt2\cdot\angle BAD.
Что и требовалось доказать.