13416. Внутри равнобедренного треугольника ABC
(AB=AC
) отметили точку K
. Точка L
— середина отрезка BK
. Оказалось, что \angle AKB=\angle ALC=90^{\circ}
, AK=CL
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
.
Решение. Прямоугольные треугольники ALC
и BKA
равны по двум катетам, поэтому AL=BK=2KL
. В прямоугольном треугольнике AKL
гипотенуза AL
вдвое больше катета KL
, поэтому \angle KAL=30^{\circ}
.
Кроме того, \angle ACL=\angle BAK
, поэтому
\angle BAK+\angle CAL=\angle ACL+\angle CAL=90^{\circ}.
Значит,
\angle BAC=\angle BAK+\angle CAL-\angle KAL=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, равнобедренный треугольник ABC
— равносторонний, и его углы равны 60^{\circ}
.
Автор: Солынин А. А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, второй тур, задача 5, 7 класс