13417. На стороне AC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
так, что AD=CE
. На отрезке BC
выбрана точка X
, а на отрезке BD
— точка Y
, причём CX=EX
и AY=DY
. Лучи YA
и XE
пересекаются в точке Z
. Докажите, что середина отрезка BZ
лежит на прямой AE
.
Решение. Пусть прямые AC
и BZ
пересекаются в точке M
. Заметим, что
\angle BCD=\angle XCE=\angle XEC=\angle ZEA.
Кроме того \angle BDC=\angle ZAE
как смежные с равными углами, а также
CD=CE+ED=AD+DE=AE.
Значит, треугольники BDC
и ZAE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда равны соответствующие высоты BP
и ZQ
треугольников. Следовательно, BM=ZM
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, второй тур, задача 2, 8 класс