13418. Дан параллелограмм ABCD
, в котором \angle ACB=2\angle CAB
. На продолжении диагонали AC
за точку C
отмечена точка E
. Докажите, что BC+BE\gt DE
.
Решение. Положим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=2\alpha
. Пусть D'
— точка, симметричная точке D
относительно прямой AC
. Тогда
AB=CD=CD',~BC=AD=AD',
поэтому треугольники ABC
и CD'A
равны по трём сторонам. Тогда равны их высоты, опущенные из соответствующих вершин B
и D'
. Значит, BD'\parallel AC
, и AD'BC
— равнобедренная трапеция. Следовательно,
\angle BD'C=\angle D'CA=\angle DCA=\angle CAB=\alpha,
\angle BCD'=\angle ACB-\angle D'CA=\angle ACB-\angle DCA=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BD'C,
поэтому треугольник D'BC
равнобедренный, BC=D'B
. Следовательно,
BC+BE=D'B+BE\gt D'E=DE
(неравенство строгое, поскольку точки D'
, B
и E
не лежат на одной прямой, так как прямые D'B
и AC
параллельны, а прямые BE
и AC
пересекаются в точке E
).