13423. Высоты AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. На касательную, проведённую из точки C
к описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
, опущен перпендикуляр HQ
(точка Q
лежит внутри треугольника ABC
). Докажите, что окружность, проходящая через точку B_{1}
и касающаяся прямой AB
в точке A
, касается также и прямой A_{1}Q
.
Решение. Пусть s_{1}
— описанная окружность треугольника AB_{1}C_{1}
, а s_{2}
— окружность, проходящая через точку B_{1}
и касающаяся прямой AB
в точке A
. По теореме об угле между касательной и хордой угловая величина дуги, отсекаемой хордой AB_{1}
от окружности s_{2}
, равна угловой величине угла A
. Тому же равна и угловая величина дуги, отсекаемой хордой B_{1}C_{1}
от окружности s_{1}
.
Из точек A_{1}
и Q
отрезок CH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CH
, поэтому вписанные в эту окружность углы HA_{1}Q
и HCQ
равны. Обозначим \angle HA_{1}Q=\angle HCQ=\varphi
.
Пусть луч AA_{1}
пересекает окружность s_{1}
в точке P
. Из точки A_{1}
к окружности s_{2}
проведены секущая A_{1}PA
и касательная, образующая с этой секущей угол, равный \varphi
. Из точки C
к окружности s_{1}
проведены секущая CHC_{1}
и прямая, образующая с этой секущей угол, равный тоже \varphi
. Нужно доказать, что эта прямая — касательная к окружности s_{1}
. Для этого нужно установить, что две такие фигуры подобны.
Обозначим \angle A=\alpha
, \angle C=\gamma
. Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому достаточно проверить, что \frac{AP}{C_{1}H}=\frac{AA_{1}}{C_{1}C}
. Из теоремы синусов получаем, что первое отношение равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности s_{1}
равен AH
, а диаметр окружности s_{2}
равен \frac{AB_{1}}{\sin\angle C_{1}AB_{1}}=\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}
. Значит,
\frac{AP}{C_{1}H}=\frac{\frac{AB_{1}}{\sin\alpha}}{AH}=\frac{AB_{1}}{AH}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{\sin\angle AHB_{1}}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}.
С другой стороны, отношение высот \frac{AA_{1}}{C_{1}C}
равно отношению сторон \frac{AB}{BC}
, которое по теореме синусов тоже равно \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}
. Отсюда следует утверждение задачи.