13424. Точка I
— центр вписанной в четырёхугольник ABCD
окружности. Докажите, что на луче CI
найдётся такая точка K
, что \angle KBI=\angle KDI=\angle BAI
.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
, C
, D
данного четырёхугольника равны 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
, 2\delta
соответственно. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника,
\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma-\delta.
Отложим на луче CI
отрезок CK=\frac{CB\cdot CD}{CI}
. Тогда \frac{CK}{CD}=\frac{CB}{CI}
, поэтому треугольники CID
и CBK
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle CBK=\angle CID
. Тогда
\beta+\angle KBI=\angle CBI+\angle KBI=\angle CBK=\angle CID=180^{\circ}-\gamma-\delta=\alpha+\beta,
откуда \angle KBI=\alpha=\angle BAI
. Аналогично, \angle KDI=\angle BAI
.