13425. Выпуклый четырёхугольник ABCD
таков, что \angle BAD=2\angle BCD
и AB=AD
. Пусть P
— такая точка, что ABCP
— параллелограмм. Докажите, что CP=DP
.
Решение. Из условия следует, что точка A
симметрична относительно прямой BD
центру O
описанной около треугольника BCD
окружности, поэтому ABOD
— ромб. Тогда отрезок OD
равен и параллелен отрезку AB
, а значит, и отрезку CP
. Следовательно, CODP
— параллелограмм, а поскольку OC=OD
, этот параллелограмм — ромб, и CP=DP
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кухарчук И. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, финал, первый день, задача 1, 8 класс