13426. Точка M
— середина большей боковой стороны CD
прямоугольной трапеции ABCD
. Описанные около треугольников BCM
и AMD
окружности соответственно \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в точке E
. Пусть прямая ED
пересекает окружность \omega_{1}
в точке F
, а прямая FB
пересекает AD
в точке G
. Докажите, что GM
— биссектриса угла BGD
.
Решение. Пусть окружность\omega_{1}
, описанная около треугольника BCM
, пересекает прямую AB
в точке E'
. Тогда
\angle BE'M=180^{\circ}-\angle BCM=180^{\circ}-\angle BCD=\angle ADC=\angle ADM.
Значит, точка E'
лежит на описанной окружности \omega_{2}
треугольника AMD
, и поэтому окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются на прямой AB
, и точка E'
совпадает с E
.
Кроме того, из точки B
отрезок CE
виден под прямым углом, поэтому CE
— диаметр окружности \omega_{1}
. Значит, \angle CFD=\angle CFE=90^{\circ}
. Отрезок FM
— медиана прямоугольного треугольника CFD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому FM=CM=DM
.
Точки G
, F
, M
и D
лежат на одной окружности, так как
\angle BGA=\angle GBC=\angle FBC=180^{\circ}-\angle CMF=\angle FMD=180^{\circ}-\angle DFG.
Около четырёхугольника DGFM
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы FGM
и DGM
опираются на равные хорды FM
и DM
. Значит,
\angle BGM=\angle FGM=\angle DGM.
Следовательно, GM
— биссектриса угла BGD
. Что и требовалось доказать.