13428. В треугольнике ABC
провели высоту AT
и биссектрису BD
. Оказалось, что \angle ADB=45^{\circ}
. Найдите \angle DTC
.
Решение. Опишем окружность около треугольника ABD
и продолжим отрезки AT
и BT
до пересечения с ней в точках U
и V
соответственно. Тогда
\angle TUB=\angle AUB=\angle ADB=45^{\circ},
а так как треугольник BTU
прямоугольный, то
\angle UBV=\angle UBT=45^{\circ}.
Значит меньшие дуги AB
и UV
равны 90^{\circ}
, а так как D
— середина меньшей дуги AV
, то равны дуги BAD
и DVU
. Тогда равны хорды BD
и DU
, т. е. точка D
равноудалена от концов хорды BU
, поэтому прямая DT
— серединный перпендикуляр к этой хорде. Значит, точка M
пересечения прямой DT
с хордой BU
— середина BU
, а так как прямоугольный треугольник BTU
— равнобедренный, то его высота TM
является биссектрисой. Следовательно,
\angle DTC=\angle MTB=45^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 2, задача OC443, с. 68
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2017