13430. Окружности s_{1}
и s_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках P_{1}
и P_{2}
. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой P_{1}A\cdot AP_{2}
принимает наибольшее значение.
Решение. Пусть X
и Y
— проекции точки A
на прямые BP_{1}
и BP_{2}
. Углы AP_{1}B
и AP_{2}B
не зависят от выбора прямой. Обозначим их через \alpha
и \beta
соответственно. Тогда
AP_{1}\cdot AP_{2}=\frac{AX}{\sin\alpha}\cdot\frac{AY}{\sin\beta}=\frac{AX\cdot AY}{\sin\alpha\sin\beta},
поэтому BP_{1}\cdot BP_{2}
и AX\cdot AY
принимают наибольшие значения одновременно.
Поскольку точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром AB
, угол XAY
, а значит, и длина отрезка XY
постоянны. Кроме того,
\angle XAY=180^{\circ}-\angle XBY,
поэтому величина угла XAY
тоже постоянна. Поскольку
S_{\triangle XAY}=\frac{1}{2}AX\cdot AY\sin\angle XAY=\frac{1}{2}XY\cdot h,
где h
— высота треугольника XAY
, проведённая из вершины A
, то
AX\cdot AY=\frac{h\cdot XY}{\sin\angle XAY}.
Значит, AX\cdot AY
максимально, если h
максимально.
Следовательно, надо найти такое положение хорды XY
, при котором расстояние от A
до неё максимально.
Заметим, что все рассматриваемые хорды XY
касаются фиксированной окружности \omega
с центром O
в середине AB
. Построим одну такую хорду X_{0}Y_{0}
, перпендикулярную диаметру AB
. Она касается окружности \omega
в своей середине M
. Докажем, что расстояние от точки A
до неё больше расстояния до любой другой такой хорды XY
.
Пусть E
— точка касания хорды XY
с окружностью \omega
, AT
— перпендикуляр к XY
, а OF
— перпендикуляр к AT
. Тогда
AT=AF+FT=AF+OE=AF+OM\lt AO+OM=AM.
Что требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, финал, первый день, задача 2, 9 класс