13435. В равнобедренном треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 100^{\circ}
. На продолжении стороны AB
за точку B
отмечена такая точка D
, что AD=BC
. Чему равен угол BCD
?
Ответ. 10^{\circ}
.
Решение. Углы при основании треугольника равны 40^{\circ}
. Построим равносторонний треугольник ADE
так, чтобы его вершины A
лежали по разные стороны от прямой BC
. Тогда
\angle CAE=\angle CAD-\angle EAD=100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}.
Треугольник CAE
равен равнобедренному треугольнику ABC
по двум сторонам (AC=AB
и AE=AD=BC
) и углу между ними (\angle CAE=40^{\circ}=\angle ABC
). Тогда треугольники DAC
и DEC
равны по трём сторонам. Значит,
\angle ACD=\angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACE=50^{\circ}.
Следовательно,
\angle BCD=\angle ACD-\angle ACB=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}.
Примечание. См. также статью М.Васильева и Т.Корчёмкиной «Вспомогательные равносторонние треугольники», Квант, 2023, N3, с.37-42.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1974, том 47, № 3, с. 172, задача 877
Источник: Журнал «Квант». — 2023, № 3, с. 37, задача 1