13436. Внутри равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
отмечена такая точка M
, что \angle MBC=30^{\circ}
, \angle MCB=10^{\circ}
. Найдите угол AMC
, если \angle BAC=80^{\circ}
.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80^{\circ}
, углы при основании равны 50^{\circ}
, поэтому
\angle MBA=50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ},~\angle MCA=50^{\circ}-10^{\circ}=40^{\circ}
Построим равносторонний треугольник ABD
с вершиной D
, расположенной по одну сторону с точкой C
от прямой AB
. Тогда
\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ},
а углы при основании CD
равнобедренного треугольника ACD
равны 80^{\circ}
. Значит,
\angle BCD=\angle ACD-\angle ACB=80^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}.
Треугольники BMC
и CDB
равны по общей стороне BC
и прилежащим к ней углам 30^{\circ}
и 10^{\circ}
, поэтому
MC=BD=AC.
Следовательно, в равнобедренном треугольнике ACM
с углом 40^{\circ}
при вершине C
, угол AMC
при основании AM
равен 70^{\circ}
.
Примечание. 1. См. также статью М.Васильева и Т.Корчёмкиной «Вспомогательные равносторонние треугольники», Квант, 2023, N3, с.37-42.
2. См. также статью В.Прасолова «Диагонали правильного 18-угольника», Квант, 1995, N5, с.40-42.