13437. Внутри треугольника
ABC
отмечена такая точка
M
, что
AM=MB
,
\angle MBA=10^{\circ}
,
\angle MBC=20^{\circ}
и
\angle MAC=40^{\circ}
. Найдите угол
MCA
.
Ответ.
70^{\circ}
.
Решение. Треугольник
AMB
равнобедренный, поэтому
\angle MAB=\angle MBA=10^{\circ}.

Первый способ. Построим равносторонний треугольник
AKB
с вершиной
K
, расположенной по одну сторону от прямой
AB
вместе с точкой
C
. Тогда
\angle KBC=\angle KBA-\angle CBM-\angle MBA=

=60^{\circ}-20^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABK,

т. е. луч
BC
— биссектриса угла
ABK
.
Поскольку
\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ}

и
\angle CAK=\angle BAK-\angle BAC=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ},

а углы
CKA
и
CAK
симметричны относительно прямой
BC
, то
\angle CKA=\angle CAK=10^{\circ}.

Значит, треугольники
ACK
и
AMB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда
CK=CA=BM
, а так как
\angle BKC=60^{\circ}-10^{\circ}=50^{\circ}=30^{\circ}+20^{\circ}=\angle KBM,

то
BKCM
— равнобедренная трапеция с основаниями
AK
и
CM
. Следовательно,
\angle BCM=\angle KBC=30^{\circ}.

Кроме того, из симметрии
\angle BCA=\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot10^{\circ})=100^{\circ}.

Таким образом,
\angle MCA=\angle BCA-\angle BCM=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}.

Второй способ. Построим равносторонний треугольник
AMN
с вершиной
N
, расположенной по одну сторону от прямой
AB
вместе с точкой
C
. Тогда
\angle BMN=360^{\circ}-\angle AMB-\angle AMC=360^{\circ}-160^{\circ}-60^{\circ}=140^{\circ},

а так как
MN=MA=MB
, то треугольник
BMN
равнобедренный, поэтому
\angle NBM=\angle BNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-140^{\circ})=20^{\circ}=\angle CBM.

Следовательно, точки
A
,
C
и
N
лежат на одной прямой.
Треугольник
CAN
равнобедренный, так как
AN=AM=AC
. Тогда
ACM
тоже равнобедренный. Следовательно,
\angle MCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.

Примечание. См. также статью М.Васильева и Т.Корчёмкиной «Вспомогательные равносторонние треугольники», Квант, 2023, N3, с.37-42.