13437. Внутри треугольника ABC
отмечена такая точка M
, что AM=MB
, \angle MBA=10^{\circ}
, \angle MBC=20^{\circ}
и \angle MAC=40^{\circ}
. Найдите угол MCA
.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. Треугольник AMB
равнобедренный, поэтому
\angle MAB=\angle MBA=10^{\circ}.
Первый способ. Построим равносторонний треугольник AKB
с вершиной K
, расположенной по одну сторону от прямой AB
вместе с точкой C
. Тогда
\angle KBC=\angle KBA-\angle CBM-\angle MBA=
=60^{\circ}-20^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABK,
т. е. луч BC
— биссектриса угла ABK
.
Поскольку
\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ}
и
\angle CAK=\angle BAK-\angle BAC=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ},
а углы CKA
и CAK
симметричны относительно прямой BC
, то
\angle CKA=\angle CAK=10^{\circ}.
Значит, треугольники ACK
и AMB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда CK=CA=BM
, а так как
\angle BKC=60^{\circ}-10^{\circ}=50^{\circ}=30^{\circ}+20^{\circ}=\angle KBM,
то BKCM
— равнобедренная трапеция с основаниями AK
и CM
. Следовательно,
\angle BCM=\angle KBC=30^{\circ}.
Кроме того, из симметрии
\angle BCA=\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot10^{\circ})=100^{\circ}.
Таким образом,
\angle MCA=\angle BCA-\angle BCM=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}.
Второй способ. Построим равносторонний треугольник AMN
с вершиной N
, расположенной по одну сторону от прямой AB
вместе с точкой C
. Тогда
\angle BMN=360^{\circ}-\angle AMB-\angle AMC=360^{\circ}-160^{\circ}-60^{\circ}=140^{\circ},
а так как MN=MA=MB
, то треугольник BMN
равнобедренный, поэтому
\angle NBM=\angle BNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-140^{\circ})=20^{\circ}=\angle CBM.
Следовательно, точки A
, C
и N
лежат на одной прямой.
Треугольник CAN
равнобедренный, так как AN=AM=AC
. Тогда ACM
тоже равнобедренный. Следовательно,
\angle MCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.
Примечание. См. также статью М.Васильева и Т.Корчёмкиной «Вспомогательные равносторонние треугольники», Квант, 2023, N3, с.37-42.
Источник: Журнал «Квант». — 2023, № 3, задача 3, с. 39