13440. Дан треугольник ABC
и точка P
внутри него. Точки A'
, B'
, C'
— проекции точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C'
, лежит внутри треугольника ABC
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— точки симметричные точке P
относительно прямых BC
, AC
, AB
соответственно. Поскольку CA_{1}=CP=CB_{1}
, серединный перпендикуляр к отрезку A_{1}B_{1}
содержит биссектрису угла A_{1}CB_{1}
, а так как \angle A_{1}CB_{1}=2\angle ACB
, то эта биссектриса проходит между сторонами угла ACB
. Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам AC
и BC
проходят между сторонами углов ABC
и BAC
. Следовательно, центр Q
описанной окружности треугольника ABC
лежит внутри этого треугольника.
Треугольник A'B'C'
получается из треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
гомотетией с центром P
и коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому центр O
описанной окружности треугольника A'B'C'
совпадает с серединой отрезка PQ
, концы которого лежат внутри треугольника ABC
. Следовательно, точка O
лежит внутри треугольника ABC
.