13444. В окружности с центром O
проведена хорда AB
, на которой отмечена точка C
. Через точку C
проведена прямая, перпендикулярная OC
. Касательные к окружности в точках A
и B
пересекают эту прямую в точках P
и Q
. Докажите, что C
— середина отрезка PQ
.
Решение. Поскольку радиусы окружности перпендикулярны касательным, проведённым в точки касания, \angle OAP=\angle OBQ=90^{\circ}
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Из точек A
и C
отрезок OP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OP
. Аналогично, точки B
и C
лежат на окружности с диаметром CQ
. Тогда
\angle OAC=\angle OPC,~\angle OQC=\angle OBC,
а так как треугольник AOB
равнобедренный, то
\angle OPQ=\angle OAC=\angle OBC=\angle OQC=\angle OQP.
Значит, треугольник POQ
равнобедренный, OA=OQ
. Следовательно, его высота OC
является медианой. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть касательные к данной окружности, проведённые в точках A
и B
, пересекаются в точке F
. Заметим, что основания A
, B
и C
перпендикуляров, опущенных из точки O
на прямые, содержащие стороны треугольника PQF
, лежат на одной прямой. Тогда по теореме, обратной теореме о прямой Симсона (см. задачу 6088), точка O
лежит на описанной окружности треугольника PQF
, а так как исходная окружность вписана в угол AFB
, то FO
— биссектриса этого угла. Тогда из равенства углов OFQ
и OFP
, вписанных в полученную окружность, следует равенство хорд OP
и OQ
. Значит, треугольник OPQ
равнобедренный. Следовательно, его высота OC
является и его медианой. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Московская математическая регата. — 2022, задача 4.3, 9 класс