13460. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
. Для точки P
, лежащей на стороне AB
, отметили такую точку Q
на продолжении стороны AC
за точку C
, что середина N
отрезка PQ
лежит на стороне BC
. Для точки R
, лежащей на стороне AC
, отметили такую точку S
на продолжении стороны AB
за точку B
, что середина M
отрезка RS
лежит на стороне BC
. Докажите, что \frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}
.
Решение. Пусть P'
и Q'
— проекции точек соответственно P
и Q
на прямую BC
. Поскольку PN=NQ
прямоугольные треугольники PNP'
и QNQ'
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, PP'=QQ'
и P'N=Q'N
. Тогда прямоугольные треугольники PP'B
и QQ'C
равны по катету и противолежащему острому углу, так как
\angle PBP'=\angle ABC=\angle ACB=\angle QCQ'.
Значит, BP'=CQ'
. Тогда при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BP'}
точка C
переходит в Q'
. Следовательно, P'Q'=BC
, поэтому
\cos\angle PNM=\frac{P'N}{PN}=\frac{NQ'}{NQ}=\frac{P'Q'}{PQ}=\frac{BC}{PQ},
и значит, PQ\cos\angle PNM=BC
.
Аналогично получим, что RS\cos\angle RMN=BC
. Следовательно,
RS\cos\angle RMN=PQ\cos\angle PNM~\Rightarrow~\frac{PQ}{RS}=\frac{\cos\angle RMN}{\cos\angle PNM}.
Что и требовалось доказать.