13465. Докажите, что стороны педального треугольника любой внутренней точки P
равностороннего треугольника пропорциональны расстояниям до противоположных вершин исходного треугольника.
Решение. Пусть P
— произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC
, а A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— проекции этой точки на стороны соответственно BC
, AC
и AB
.
Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром AP
, поэтому по теореме синусов
B_{1}C_{1}=AP\sin\angle A=AP\sin60^{\circ}.
Значит,
\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Аналогично,
\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\frac{A_{1}C_{1}}{BP}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{A_{1}C_{1}}{BP}.
Что и требовалось доказать.