13466. Каждая из трёх равных окружностей радиуса r
проходит через центры двух других. Найдите площадь пересечения трёх кругов, ограниченных этими окружностями.
Ответ. \frac{1}{2}r^{2}(\pi-\sqrt{3})
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры данных окружностей, \triangle
— площадь равностороннего треугольника O_{1}O_{1}O_{3}
, S
— площадь сектора, ограниченного радиусами O_{3}O_{1}
, O_{3}O_{2}
и меньшей дугой окружности с центром O_{3}
. Тогда
\triangle=\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4},~S=\frac{1}{6}\pi r^{2}.
Следовательно, искомая площадь пересечения кругов равна
\triangle+3(S-\triangle)=3S-2\triangle=3\cdot\frac{1}{6}\pi r^{2}-2\cdot\frac{r^{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}r^{2}(\pi-\sqrt{3}).