13470. Точка I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, противолежащей вершине A
; D
— точка касания со стороной BC
; E
и F
— точки касания с продолжениями сторон AB
и AC
; M
— середина стороны BC
. Докажите, что прямые I_{a}D
, EF
и AM
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть Y
— точка пересечения прямых EF
и I_{a}D
, X
— точка пересечения прямых AY
и BC
. Нужно доказать, что точка X
— середина стороны BC
.
Пусть точка E
лежит на прямой AB
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Четырёхугольники BDI_{a}E
и CDI_{a}F
вписанные, поэтому
\angle EI_{a}Y=\angle EI_{a}D=\angle ABD=\beta,~\angle FI_{a}Y=\angle FI_{a}D=\angle ACD=\gamma.
Точка Y
лежит на основании EF
равнобедренного треугольника EI_{a}F
. По теореме синусов из треугольников EI_{a}Y
и FI_{a}Y
получаем
\frac{\sin\beta}{\sin\angle EYI_{a}}=\frac{EY}{EI_{a}},~\frac{\sin\gamma}{\sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})}=\frac{FY}{FI_{a}}.
Разделив первое из этих равенств на второе и учитывая, что \sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})=\sin\angle EYI_{a}
и EI_{a}=FI_{a}
, получим, что \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{EY}{FY}
. Из равнобедренного треугольника EAF
аналогично получим, что \frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}
.
Применив теорему синусов к треугольникам ABX
и ACX
, получим равенства
\frac{BX}{AX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\beta},~\frac{CX}{AX}=\frac{\sin\angle CAX}{\sin\gamma}.
Значит,
\frac{BX}{CX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=1.
Следовательно, BX=CX
. Что и требовалось доказать.