13471. Дан параллелограмм ABCD
. Окружность радиуса R
, проходящая через вершины A
и B
, и равная ей окружность, проходящая через вершины B
и C
, вторично пересекаются в точке E
, не совпадающей с вершиной параллелограмма. Докажите, что окружность, проходящая через точки C
, D
и E
, имеет тот же радиус R
.
Решение. Пусть M
— середина общей хорды BE
двух данных окружностей. Фигура, состоящая из этих окружностей, симметрична относительно точки M
.
Пусть EF
— хорда первой окружности, проходящая через точки A
, B
и E
параллельно AD
и BC
. При симметрии относительно точки M
луч BC
переходит в противоположно направленный с ним луч EF
, а окружность, проходящая через точки B
, C
и E
, — в окружность, проходящую через точки A
, B
и E
. Значит, точка C
переходит в F
. Следовательно, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FE}=
. Значит, при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BC}
треугольник AFB
переходит в треугольник DEC
, а описанная окружность треугольника AFB
— в описанную окружность треугольника DEC
. Следовательно, радиус окружности, проходящей через точки C
, D
и E
, тоже равен R
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1990, № 5, задача 2, с. 140