13476. Из точки E
, лежащей на медиане AD
треугольника ABC
, опущен перпендикуляр EF
на сторону BC
. Из точки M
, лежащей на прямой EF
, опущены перпендикуляры MN
и MP
на стороны AC
и AB
соответственно. Оказалось, что точки N
, E
и P
лежат на одной прямой. Докажите, что точка M
лежит на биссектрисе угла BAC
.
Решение. Через точку E
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть она пересекает стороны AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Из точек E
и P
отрезок MX
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MX
. Аналогично, точки E
, N
, Y
, M
лежат на окружности с диаметром MY
. Тогда
\angle PXM=\angle PEM=180^{\circ}-\angle NEM=\angle NYM=\angle AYM.
Значит, точки A
, X
, M
, Y
лежат на одной окружности, поэтому
\angle XAM=\angle XYM,~\angle MAY=\angle MXY.
Из параллельности XY
и BC
получаем
XE:BD=AE:AD=EY:DC,
а так как BD=DC
, то XE=EY
, и в треугольнике XMY
высота является медианой. Значит, этот треугольник равнобедренный, и \angle EXM=\angle EYM
. Следовательно,
\angle XAM=\angle XYM=\angle MXY=\angle MAY,
т. е. точка M
лежит на биссектрисе угла BAC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Принадлежность точек A
, X
, M
, Y
одной окружности также следует из утверждения задачи 6088.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1990, № 10, задача 33, с. 293
Источник: Болгарские математические олимпиады. — 1987