1348. Пусть в выпуклом четырёхугольнике
ABCD
нет параллельных сторон. Обозначим через
E
и
F
точки пересечения прямых
AB
и
DC
,
BC
и
AD
соответственно (точка
A
лежит на отрезке
BE
, а точка
C
— на отрезке
BF
). Докажите, что четырёхугольник
ABCD
является описанным тогда и только тогда, когда
EA+AF=EC+CF
.
Указание. Докажите, что биссектрисы углов
BAD
,
BCD
и
BEC
пересекаются в одной точке.
Решение. Необходимость. Дано:
ABCD
— описанный четырёхугольник (рис. 1). Пусть касательные к вписанной окружности из точек
A
,
B
,
C
,
D
,
E
и
F
равны соответственно
a
,
b
,
c
,
d
,
e
и
f
. Тогда
EA=e-a,~AF=a+f,~EC=e+c,~CF=f-c.

Значит,
EA+AF=(e-a)+(a+f)=e+f,~EC+CF=(e+c)+(f-c)=e+f.

Следовательно,
EA+AF=EC+CF
.
Достаточность. Пусть выполняется равенство
EA+AF=EC+CF
. Докажем, что биссектрисы углов
BAD
,
BCD
и
BEC
пересекаются в одной точке (рис. 2). Отсюда будет следовать, что
ABCD
— описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от
AB
и
AD
,
BC
и
CD
, а также от
AB
и
CD
.)
Возьмём на продолжении отрезка
EA
за точку
A
такую точку
T
, чтобы
AT=AF
, а на продолжении отрезка
EC
за точку
C
— такую точку
S
, чтобы
CS=CF
. Поскольку
ET=EA+AF
, а
ES=EC+CF
, то из условия следует, что
ET=ES
.
Рассмотрим треугольник
TFS
. Серединный перпендикуляр к стороне
TS
этого треугольника является биссектрисой угла
TES
(или угла
BEC
). Это следует из равнобедренности треугольника
TES
. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне
TF
есть биссектриса угла
TAF
(или угла
BAD
), а серединный перпендикуляр к стороне
SF
— биссектриса угла
CSF
(или угла
BCD
). Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника
TFS
.


Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — с. 143
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.9, с. 152